1. Exemple de motivation Si vous régressez le taux d'inflation du trimestre en cours, sur le taux du trimestre précédent en utilisant les données de FRED sur la période de Q3-1987 à Q4-2014, vous obtenez l'estimation ponctuelle AR (1), où le nombre en Parenthèses désigne l'erreur-type, et la série chronologique du taux d'inflation, a été dégradée. En d'autres termes, si le taux d'inflation est des points plus élevés au T1-2015, alors en moyenne il sera points plus élevés au T2-2015, des points plus élevés au T3-2015, et ainsi de suite8230 La fonction qui décrit la cascade de taux d'inflation futur Changements dus à un choc inattendu dans la période est connu comme la fonction impulsion-réponse. Mais, de nombreux phénomènes intéressants de série temporelle impliquent de multiples variables. Par exemple, Brunnermeier et Julliard (2008) montrent que le taux d'appréciation du prix de l'immobilier, est inversement lié au taux d'inflation. Si vous régressez l'inflation actuelle et les taux d'appréciation du prix de l'immobilier sur les taux du trimestre précédent en utilisant des données dégradées de l'indice Case-ShillerS038P. Alors vous obtenez: Ces estimations ponctuelles indiquent que si le taux d'inflation était des points plus élevés au T1-2015, alors le taux d'inflation serait des points plus élevés au T2-2015 et le taux d'appréciation du prix des maisons serait points inférieurs au T2-2015. Le calcul de la fonction impulsion-réponse pour cette auto-régression vectorielle (VAR) est plus difficile que le calcul de la même fonction pour le taux d'inflation AR (1) car les taux d'inflation et de taux d'appréciation des prix sont corrélés: Quand vous voyez un choc de point à l'inflation, vous avez également tendance à voir un choc de point au taux d'appréciation de prix de maison. Ainsi, le calcul des effets futurs d'un choc sur le taux d'inflation et d'un choc ponctuel sur le taux d'appréciation du prix de l'immobilier vous donne des informations sur un choc unitaire qui ne se produit pas dans le monde réel. Dans ce post, je montre comment expliquer ce type de corrélation lors du calcul de la fonction impulsion-réponse pour les VAR. Voici le code correspondant. 2. Fonction d'Impulsion-Réponse Avant d'étudier les VAR, les let8217s définissent d'abord la fonction impulsion-réponse plus soigneusement dans le monde scalaire. Supposons que nous ayons des données générées par un AR (1), où,, et. Par exemple, si nous examinons les données trimestrielles sur l'inflation, alors. Dans ce contexte, qu'arriverait-il s'il y avait un choc soudain dans la période Comment allons-nous nous attendre à ce que le niveau de changement Qu'en est-il du niveau de Or, le niveau de toute arbitraire pour Dans l'avenir, on peut facilement calculer l'espérance de temps de: L'itération sur cette même stratégie donne alors l'espérance de temps de: Donc, en général, l'espérance de temps de tout futur sera donnée par la formule, et la fonction impulsion-réponse pour Le processus AR (1) sera: Si vous saviez qu'il y avait un choc soudain de taille, alors votre attente de changerait par le montant. La figure ci-dessous trace la fonction impulsion-réponse pour utiliser l'estimation de point AR (1) par l'équation (1). Il y a une autre façon légèrement différente de penser à une fonction impulsion-réponse, comme les coefficients à la représentation moyenne mobile de la série temporelle. Considérons la réécriture du processus de génération de données en utilisant des opérateurs de décalage, où, et ainsi de suite8230 Chaque fois que le coefficient de pente est inférieur à,, nous savons que, et il existe une représentation moyenne mobile de: C'est plutôt que d'écrire chacun en fonction de Une valeur décalée, et un choc contemporain, on peut plutôt représenter chacun comme moyenne pondérée de tous les chocs passés qui ont été réalisés, les chocs plus récents étant pondérés plus fortement. Si nous normalisons tous les chocs pour avoir la variance unitaire, alors les poids eux-mêmes seront donnés par la fonction impulsion-réponse: Bien sûr, c'est exactement ce que vous attendez pour un processus covariance-stationnaire. L'impact des chocs passés sur la valeur actuelle réalisée devrait être le même que l'impact des chocs actuels sur les valeurs futures. 3. De AR à VAR Nous venons de voir comment calculer la fonction impulsion-réponse pour un processus AR (1). Let8217s examiner maintenant comment étendre le cadre où il ya deux séries chronologiques, au lieu de juste. Cette paire d'équations peut être écrite sous forme matricielle comme suit, où et. Par exemple, si l'on considère le taux d'inflation trimestriel et le taux d'appréciation trimestriel du prix de l'immobilier, la matrice des coefficients est donnée dans l'équation (2). Rien sur la construction de la représentation de moyenne mobile n'exigeait que ce soit un scalaire, de sorte que nous pouvons utiliser les mêmes trucs exacts pour écrire le vecteur-dimensionnel comme une moyenne mobile: Mais, il est beaucoup moins clair dans ce paramètre de valeur vectorielle comment we8217d Récupérer la fonction impulsion-réponse à partir de la représentation de la moyenne mobile. En d'autres termes, ce que l'analogique matriciel de Let8217s applique à l'opérateur de désirs. Cette matrice mystère, appelons-le, doit avoir deux propriétés distinctes. Tout d'abord, il doit redéfinir le vecteur des chocs,, en quelque chose qui a une norme unitaire, de la même manière que dans l'analyse ci-dessus. C'est pourquoi I8217m écrit la matrice mystère plutôt que juste. Deuxièmement, la matrice doit tenir compte du fait que les chocs, et, sont corrélés, de sorte que les chocs ponctuels au taux d'inflation sont toujours accompagnés de chocs ponctuels au taux de plus-value du prix de l'immobilier. Parce que les chocs à chaque variable peuvent avoir des écarts-types différents, par exemple, tandis que, l'effet d'un choc au taux d'inflation sur le taux de la appréciation du prix de l'immobilier, sera différent de l'effet d'un choc à la hausse du prix de l'immobilier Sur le taux d 'inflation, -. Ainsi, chaque variable dans le vecteur aura sa propre fonction impulsion-réponse. C'est pourquoi j'écris la matrice mystère plutôt que. Il s'avère que, si nous choisissons d'être la décomposition de Cholesky de, alors aura les deux propriétés que nous voulons comme indiqué dans Sims (1980). Le cas simple-dimensionnel est vraiment utile pour comprendre pourquoi. Pour commencer, let8217s écrire la matrice variance-covariance des chocs,, comme suit, où. La décomposition de Cholesky peut alors être résolue à la main: Puisque nous ne travaillons qu'avec une matrice dimensionnelle, on peut aussi la résoudre à la main: Ainsi, par exemple, s'il y a une paire de chocs, on convertira ce choc en: En d'autres termes, la matrice rescale d'avoir une norme unitaire, et tourne le vecteur pour tenir compte de la corrélation entre et. Pour apprécier comment la rotation tient compte de la corrélation positive entre et, remarquez que la matrice fait tourner le choc en un vecteur qui pointe vers l'écart-type dans la direction et dans la direction. C'est-à-dire, étant donné que vous avez observé un choc positif, observer un choc serait un résultat étonnamment bas. Si l'on se connecte à la représentation de moyenne mobile, on obtient l'expression suivante, ce qui implique que la fonction impulsion-réponse est donnée par: La figure ci-dessous trace la fonction impulsion-réponse pour les deux et impliquée par un choc unitaire en utilisant la fonction Coefficient de l'équation (2). Post navigationLe scientifique et les ingénieurs Guide sur le traitement du signal numérique Par Steven W. Smith, Ph. D. Comme le nom l'indique, le filtre à moyenne mobile fonctionne en faisant la moyenne d'un nombre de points à partir du signal d'entrée pour produire chaque point dans le signal de sortie. Dans la forme d'équation, ceci est écrit: Où est le signal d'entrée, est le signal de sortie, et M est le nombre de points dans la moyenne. Par exemple, dans un filtre à moyenne mobile à 5 points, le point 80 du signal de sortie est donné par: En variante, le groupe de points du signal d'entrée peut être choisi symétriquement autour du point de sortie: ceci correspond à la modification de la somme dans Eq . 15-1 de: j 0 à M -1, à: j - (M -1) 2 à (M -1) 2. Par exemple, dans un filtre à moyenne mobile à 10 points, l'indice, j. Peut aller de 0 à 11 (moyenne d'un côté) ou de -5 à 5 (moyenne symétrique). La moyenne symétrique requiert que M soit un nombre impair. La programmation est légèrement plus facile avec les points sur un seul côté cependant, cela produit un décalage relatif entre les signaux d'entrée et de sortie. Vous devez reconnaître que le filtre de moyenne mobile est une convolution à l'aide d'un noyau de filtre très simple. Par exemple, un filtre à 5 points a le noyau de filtre: 82300, 0, 15, 15, 15, 15, 15, 0, 08230. C'est-à-dire que le filtre à moyenne mobile est une convolution du signal d'entrée avec une impulsion rectangulaire ayant une Zone de un. Le tableau 15-1 montre un programme pour implémenter le filtre de la moyenne mobile. Réponse à l'impulsion et convolution Le traitement du signal numérique est l'algèbre linéaire appliquée (la plupart du temps). La pertinence de la multiplication matricielle s'est révélée facile à saisir pour la correspondance des couleurs. Nous avions des dimensions fixes de 1 (nombre de lumières de test), 3 (nombre de lumières primaires, nombre de photopigments) et 31 (nombre de points d'échantillons dans une distribution de puissance spectrale pour une lumière, ou dans l'absorption spectrale pour un pigment) Et il s'est avéré que certains faits importants sur la vision des couleurs peut être la modélisation comme la projection des vecteurs spectrales de plus grande dimension dans un sous-espace psychologique de dimension inférieure. Il est également facile de voir comment cette idée fonctionne quand on modélise une relation entre des variables indépendantes (comme les conditions expérimentales) et des variables dépendantes (comme les réponses des sujets), ou quand on essaie de classer des ensembles de mesures multivariées (comme les valeurs des formants). Mais qu'est-ce que cela signifie d'interpréter le traitement des signaux audio ou vidéo comme multiplication matricielle Et pourquoi voudrions-nous envisager un cas simple. La norme CD échantillonne une forme d'onde audio 44,100 fois par seconde, de sorte qu'une pièce de 2h48 contient 7 408 800 échantillons (en ignorant la question stéréo). Supposons que nous souhaitons ajuster l'intensité relative des fréquences basses, moyennes et hautes, pour compenser l'acoustique de la pièce, notre système d'enceintes ou notre goût personnel. Les 7,408,800 échantillons sont des éléments d'un vecteur, toute fonction d'égalisation (ainsi que montrer plus tard) est linéaire, et toute transformation linéaire est équivalente à une multiplication de matrice de sorte que nous pouvons modéliser son effet sur un canal de notre morceau de musique comme multiplication par un 7,408,800 par 7 408 800 matrice. Tout ce que nous avons à faire est de multiplier notre vecteur colonne 7,408,800 éléments par cette matrice, produisant un autre vecteur colonne avec le même nombre d'éléments - et ce sera notre bit égalisé de l'audio. Si nous voulions opérer sur un enregistrement d'une demi-heure, l'échelle de l'opération augmenterait proportionnellement. Cela ne semble pas être une technique très pratique. Il est conceptuellement correct, et parfois il peut être utile de penser les choses de cette manière. Cependant, cela est (bien entendu) pas comment une mise en œuvre DSP d'un égaliseur est accompli. Il existe des moyens beaucoup plus faciles, qui sont mathématiquement équivalents pour les systèmes à certaines propriétés, dont les matrices ont des propriétés correspondantes qui permettent une mise en œuvre simple et efficace du calcul équivalent. Ce sujet peut être réduit à un slogan: L'effet de tout système invariant linéaire inverse sur un signal d'entrée arbitraire est obtenu en convolvant le signal d'entrée avec la réponse du système à une impulsion unitaire. Pour avoir une idée de ce que cela pourrait être bon pour, considérer certaines choses dans le monde réel qui sont (ou du moins peut être avec succès modélisé comme) linéaire inverse de changement de systèmes: Une fois que vous comprenez la terminologie de ce slogan, il sera presque Immédiatement évident que son vrai donc dans un sens cette conférence est principalement une question d'apprentissage de certaines définitions Nous savons déjà ce qu'est un système linéaire. Un système invariant par changement de vitesse est celui où le décalage de l'entrée déplace toujours la sortie de la même quantité. Lorsqu'on représente des signaux par des vecteurs, alors un décalage signifie un nombre entier constant ajouté à tous les indices. Ainsi, le déplacement du vecteur v par n échantillons produit un vecteur w tel que w (in) v (i). Note: il ya un petit problème ici est décidé ce qui se passe sur les bords. Ainsi, pour un décalage positif n, le premier élément de w devrait correspondre au moins n-ième élément de v - mais v n'est pas défini pour des indices inférieurs à 1 (ou zéro, si nous décidons d'y commencer). Il ya un problème similaire à l'autre extrémité. Les mathématiques DSP classiques résolvent ce problème en traitant les signaux comme ayant une étendue infinie - définie pour tous les indices de moins l'infini à l'infini. Cependant, les signaux du monde réel commencent et s'arrêtent généralement. C'est une question qui revient à plusieurs reprises, y compris une fois à la fin de cette conférence, quand bien donner un compte un peu plus formel à la fois dans la perspective EEDSP et la perspective de l'algèbre linéaire. Pour les signaux qui sont des fonctions du temps - c'est-à-dire où la succession d'indices correspond à une séquence de points temporels - un système invariant par changement de vitesse peut de manière équivalente être appelé système invariant dans le temps. Ici, la propriété de l'invariance par déplacement a une signification particulièrement intuitive. Supposons que l'on sonde un résonateur acoustique avec une entrée particulière à midi le 25 Janvier 1999, et obtenir une réponse (quelle qu'elle soit), que nous enregistrons. Ensuite, nous testons le même système à nouveau avec la même entrée, à midi le 26 janvier 1999. Nous prévoyons enregistrer la même sortie - juste décalé vers l'avant dans le temps de 24 heures La même attente s'appliquerait pour une différence de temps de Une heure ou une minute. Enfin, si l'on retarde hypothétiquement l'entrée de 1 milliseconde, on s'attend à ce que la sortie soit retardée de la même quantité - et à être autrement inchangée. Le résonateur ne sait pas quelle heure il est, et répond de la même façon quel que soit le moment Sondé Une impulsion unitaire (pour le moment) est juste un vecteur dont le premier élément est 1, et dont tous les autres éléments sont 0. (Pour les signaux numériques d'ingénieurs électriques d'étendue infinie, l'impulsion unitaire est 1 pour l'indice 0 et 0 pour tous Autres indices, de l'infini à l'infini). Eh bien travail jusqu'à ce que la convolution est en donnant un exemple simple. Voici un graphe de 50 échantillons (environ 6 millisecondes) d'une forme d'onde de parole. Nous représentons cette forme d'onde comme une séquence de nombres - un vecteur - et à partir de cette perspective une représentation graphique plus appropriée des mêmes données est un graphique de sucettes, qui nous montre chaque échantillon comme une petite sucette qui colle vers le haut ou vers le bas à partir d'une ligne zéro : Nous allons zoomer sur seulement les six premiers de ces nombres: Matlab nous dira leurs valeurs spécifiques: On peut penser à ce vecteur six éléments s comme étant la somme de six autres vecteurs s1 à s6. Dont chacune porte une seule de ses valeurs, toutes les autres valeurs étant nulles: Rappelons qu'une impulsion (dans le contexte actuel, de toute façon) est un vecteur dont le premier élément a la valeur 1 et dont tous les éléments subséquents sont nuls. Le vecteur weve appelé s1 est une impulsion multipliée par 10622. Le vecteur s2 est une impulsion décalée vers la droite par un élément et mise à l'échelle par 5624. Ainsi nous décomposons s en un ensemble d'impulsions à échelle et décalées. Il devrait être clair que nous pouvons le faire à un vecteur arbitraire. La même décomposition représentait graphiquement: Pourquoi est-ce intéressant? Eh bien, considérons un quelconque système linéaire invariant par décalage arbitraire D. Supposons que nous appliquions D (sans en savoir plus) à une impulsion, avec le résultat montré ci-dessous: le premier échantillon de la sortie est 1, le deuxième échantillon est -1 et le reste des échantillons est 0. Ce résultat Est la réponse impulsionnelle de D. Ceci est suffisant pour prédire le résultat de l'application de D à nos impulsions à l'échelle et décalées, s 1. s n. Parce que D est invariant par décalage. L'effet de décalage de l'entrée est juste pour déplacer la sortie de la même quantité. Ainsi, une entrée constituée d'une impulsion unitaire décalée par une quantité arbitraire produira une copie de la réponse impulsionnelle. Déplacé par ce même montant. Nous savons aussi que D est linéaire. Et donc une impulsion à l'échelle comme entrée produira une copie mise à l'échelle de la réponse impulsionnelle comme sortie. En utilisant ces deux faits, nous pouvons prédire la réponse de D à chacune des impulsions mises à l'échelle et décalées s 1. s n. Ceci est montré graphiquement ci-dessous: Si nous arrangeons les réponses à s1. S6 comme les lignes de la matrice, les nombres réels ressembleront à ceci: (L'arrangement de ces sorties comme les rangées d'une matrice est purement pour la convenance typographique aussi noter que weve permettent à la réponse à l'entrée s6 de tomber de la fin du monde , Pour ainsi dire) Cette information, à son tour, est suffisante pour permettre de prédire la réponse du système D au vecteur original s. Qui (par construction) est juste la somme de s1 s2 s3 s4 s5 s6. Puisque D est linéaire, l'appliquer à cette somme est la même que l'appliquer aux composantes individuelles de la somme, et l'addition des résultats. (Matlab somme, appliquée à une matrice, produit un vecteur ligne des sommes des colonnes.) Remarquez que (au moins pour la deuxième position dans la somme et dans la suite) La sortie en position i est égale à la différence entre l'entrée en position i et l'entrée en position i-1. En d'autres termes, D arrive à calculer la première différence de son entrée. Il doit être clair que la même procédure de base fonctionnera pour tout système linéaire invariant par décalage et pour TOUTE entrée à un tel système: exprimer l'entrée sous forme d'une somme d'impulsions mises à l'échelle et décalées; calculer la réponse à chacune d'elles par mise à l'échelle et décalage La réponse impulsionnelle du système additionne l'ensemble résultant de réponses impulsionnelles mises à l'échelle et décalées. Ce processus d'addition d'un ensemble de copies mises à l'échelle et décalées d'un vecteur (ici la réponse impulsionnelle), en utilisant les valeurs d'un autre vecteur (ici l'entrée) comme valeur d'échelle, est convolution - au moins c'est une façon de définir il. Une autre façon: la convolution de deux vecteurs a et b est définie comme un vecteur c. Dont le kth élément est (en termes MATLAB-ish) (Le 1 dans k1-j est dû au fait que les indices MATLAB ont le mauvais goût de commencer à partir de 1 au lieu de la mathématiquement plus élégant 0). Cette formulation permet d'indiquer que l'on peut aussi penser à la convolution comme un processus de prise en compte d'une moyenne pondérée d'une séquence, c'est-à-dire que chaque élément du vecteur de sortie est une combinaison linéaire de certains des éléments d'un des vecteurs d'entrée - - où les poids sont pris de l'autre vecteur d'entrée. Il y a quelques petits problèmes: combien de temps doit durer c et que faire si k 1 - j est négatif ou supérieur à la longueur de b. Ces problèmes sont une version des effets de bord auxquels nous avons déjà fait allusion, et nous verrons à nouveau. Une solution possible est d'imaginer que nous convoluons deux séquences infinies créées en incorporant a et b dans un océan de zéros. Maintenant, les valeurs d'index arbitraires - négatifs, ceux qui semblaient trop gros --- ont un sens parfait. La valeur de a étendu et b étendu pour les valeurs d'index en dehors de leur gamme réelle est maintenant parfaitement bien définie: toujours zéro. Le résultat de l'équation 1 sera une autre séquence de longueur infinie c. Un peu de réflexion vous convaincra que la majeure partie de c sera également nécessairement nulle, puisque les poids non nuls de b et les éléments non nuls de a ne coïncideront pas dans ces cas. Combien d'éléments de c ont la chance d'être non-zéro Eh bien, juste ces entiers k pour lesquels il y a au moins un entier j tel que 1 lt j lt longueur (a) et 1 lt k1-j lt longueur (b). Avec un peu plus de réflexion, vous pouvez voir que cela signifie que la longueur de c sera un moins que la somme des longueurs de a et b. En se référant à nouveau à l'équation 1 et en imaginant les deux vecteurs a et b comme noyés dans leurs mers de zéros, nous pouvons voir que nous obtiendrons la bonne réponse si nous laissons k courir de 1 à longueur a) longueur b) 1, et pour chaque valeur de k. Laisser j passer de max (1, k 1-longueur (b)) à min (k, longueur (a)). Encore une fois, tout cela est en termes d'index MATLAB, et donc nous pouvons le transférer directement à un programme MATLAB myconv () pour effectuer la convolution: Cela nous donnera juste le morceau de la conceptuellement infinie c qui a une chance d'être non nulle . MATLAB a une fonction de convolution intégrée conv (), de sorte que nous pouvons comparer celle que nous venons d'écrire: Comme un côté, nous devons mentionner que la convolution nous donnera également les résultats corrects si nous pensons à a, b et c comme le Coefficients de polynômes, c étant les coefficients du polynôme résultant de la multiplication de a et b ensemble. Ainsi, la convolution est isomorphe à la multiplication polynomiale, de sorte que, par exemple, Peut aussi être interprété comme signifiant que (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 et peut également être interprété comme signifiant que (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Si vous croyez cela, il découle immédiatement de la commutativité De multiplication que la convolution commute aussi (et est associative, et distribue sur addition). Nous pouvons illustrer ces propriétés empiriquement: Ce sont des points importants, donc si vous ne voyez pas immédiatement qu'ils sont toujours vrais, passez du temps avec l'équation 1 - ou avec l'opérateur de convolution dans Matlab - et convainquez-vous. Nous avons donné deux images de conv (a, b): dans un, nous additionnons un groupe de copies mises à l'échelle et décalées de a, chaque copie étant mise à l'échelle par une valeur de b, et déplacée pour aligner l'emplacement de cette valeur en b . Dans l'autre, nous utilisons prendre une moyenne pondérée courante de a, prenant b (en arrière) comme les poids. On peut voir la relation entre ces deux images en exprimant l'équation 1 sous forme matricielle. Nous avons pensé à b comme la réponse impulsionnelle du système, a comme entrée et c comme sortie. Cela implique que la matrice de S aura des dimensions de longueur (c) par longueur (a), si c S a doit être légale. Chaque élément de la sortie c sera le produit intérieur d'une rangée de S avec l'entrée a. Ce sera exactement l'équation 1 si la ligne de S en question est juste b. Temps inversé, décalé, et convenablement rembourré avec des zéros. Comme b se déplace hors de l'image, on passe juste en zéros de la mer de zéros nous nous imaginons flotter po Une petite modification de notre programme de convolution produira la matrice nécessaire: Ainsi cmat (a, b) crée un opérateur de matrice C qui peut être multiplié par le vecteur a pour créer exactement le même effet que la convolution de a avec b: Cela fonctionne parce que les lignes de C sont correctement décalées (vers l'arrière) des copies de b - ou équivalemment, parce que les colonnes de C Sont convenablement décalées (en marche avant) des copies de b. Cela nous donne les deux images des opérateurs convolutionnels: LE COURANT PONDÉRÉ MOYENNE DE L'ENTRÉE: Les rangées de C sont déplacées vers l'arrière des copies de b. Et le produit intérieur de chaque rangée avec a donnera une moyenne pondérée d'une pièce appropriée de a. Que nous coller dans l'endroit approprié dans la sortie c. LA SOMME DES COPIES ECHELLES ET SHIFTED DE LA REPONSE D'IMPULSION: Les colonnes de C sont des copies déplacées de b. En prenant l'autre point de vue de la multiplication matricielle, à savoir que la sortie est la somme des colonnes de C pondérées par les éléments de a. Nous donne l'autre image de la convolution, à savoir l'addition d'un ensemble de copies mises à l'échelle et décalées de la réponse impulsionnelle b. Un exemple plus large: En travaillant à travers les détails de la convolution, nous avons dû traiter l'effet de bord: le fait que l'équation de convolution (Equation 1) implique des valeurs d'indice pour les entrées de longueur finie a et b en dehors de la plage dans laquelle elles sont définies . Évidemment, nous pourrions choisir un certain nombre de façons différentes de fournir les valeurs manquantes --- le choix particulier que nous faisons devrait dépendre de ce que nous faisons. Il ya des cas dans lesquels la mer de zéros concept est exactement correct. Cependant, il existe d'autres situations où d'autres idées ont plus de sens. Par exemple, nous pourrions penser à b comme assis dans une mer d'infiniment de nombreuses copies répétées de lui-même. Puisque cela signifie que les valeurs d'indice hors de la fin de b s'enroulent à l'autre extrémité de façon modulaire, tout comme si b était sur un cercle, le type de convolution qui se produit est appelé convolution circulaire. Gardez ceci à l'esprit: nous y reviendrons dans une conférence ultérieure. En attendant, répétons le slogan que nous avons commencé: L'effet de tout système invariant linéaire inverse sur un signal d'entrée arbitraire est obtenu en convolvant le signal d'entrée avec la réponse du système à une impulsion unitaire. (Notez que c'est la même propriété des systèmes linéaires que nous avons observée dans le cas de la correspondance des couleurs - où nous pourrions apprendre tout ce que nous devions savoir sur le système en le sondant avec un ensemble limité d'entrées monochromatiques. Si le système était seulement Linéaire et non pas invariante, l'analogie ici serait de la sonder avec des impulsions unitaires à chaque valeur d'indice possible - chacune de ces sondes nous donnant une colonne de la matrice du système. C'est pratique avec un vecteur 31 éléments, mais il Serait moins attrayante avec des vecteurs de millions ou de milliards d'éléments. Cependant, si le système est également invariant par changement, une sonde avec une seule impulsion suffit, puisque les réponses de tous les cas décalés peuvent être prédites à partir de celle-ci. Être considérée comme une multiplication matricielle - cela doit être vrai, car un système qui peut être mis en œuvre par convolution est un système linéaire (tout en étant invariant par changement). Shift-invariance signifie que la matrice système a cependant des redondances particulières. Lorsque la réponse impulsionnelle est de durée finie, ce slogan n'est pas seulement mathématiquement vrai, mais est aussi souvent un moyen très pratique de mettre en œuvre le système, car nous pouvons mettre en œuvre la convolution en un nombre fixe de multiplication par échantillon d'entrée (exactement comme Beaucoup car il ya des valeurs non nulles dans la réponse impulsionnelle du système). Les systèmes de ce type sont généralement appelés filtres à réponse impulsionnelle finie (FIR), ou filtres équivalents de moyenne mobile. Lorsque la réponse impulsionnelle est de durée infinie (comme elle peut parfaitement être dans un système invariant par déplacement linéaire), ce slogan reste mathématiquement vrai, mais il a une valeur moins pratique (sauf si la réponse impulsionnelle peut être tronquée sans effet significatif). Eh bien, apprendre plus tard comment mettre en œuvre des filtres à réponse impulsionnelle infinie (IIR) de manière efficace. Le point de vue du PDEDE. Le but de cette section est de développer le matériel de base sur la réponse impulsionnelle et la convolution dans le style qui est commun dans la littérature de traitement de signal numérique dans la discipline du génie électrique, afin de vous aider à vous familiariser avec le type de notation que vous êtes Probablement y rencontrer. Aussi, peut-être repasser les mêmes idées dans une notation différente vous aidera à assimiler thm - mais veillez à garder la notation DSPEE séparée dans votre esprit de notation algébrique linéaire, ou vous deviendrez très confus Dans cette perspective, nous traitons Un signal numérique s comme une suite de nombres infiniment long. Nous pouvons adapter la fiction mathématique de l'infini à la réalité finie quotidienne en supposant que toutes les valeurs de signal sont nulles à l'extérieur d'une sous-séquence de longueur finie. Les positions dans l'une de ces séquences infiniment longues de nombres sont indexées par des entiers, de sorte que nous prenons s (n) pour signifier le nème nombre dans la séquence s, habituellement appelé s de n pour court. Parfois, nous utiliserons alternativement s (n) pour désigner toute la séquence s. En pensant à n comme une variable libre. Nous allons laisser un indice comme n varier sur négatif ainsi que des entiers positifs, et aussi zéro. Ainsi, lorsque les accolades sont un notation définie ensemble, de sorte que l'ensemble de l'expression signifie l'ensemble des nombres s (n) où n prend toutes les valeurs de moins l'infini à l'infini. Nous nous référerons aux nombres individuels dans une séquence s comme éléments ou échantillons. Le mot échantillon vient du fait que nous pensons habituellement à ces séquences comme des versions échantillonnées discrètement de fonctions continues, comme le résultat de l'échantillonnage d'une forme d'onde acoustique un certain nombre fini de fois par seconde, mais en fait rien qui est présenté dans cette section Dépend d'une séquence étant autre chose qu'un ensemble ordonné de nombres. La séquence d'impulsion unitaire ou d'échantillon unitaire. Écrit, est une séquence qui est un à l'échantillon point zéro, et zéro partout ailleurs: Le capital grec sigma,, a prononcé la somme. Est utilisé comme une notation pour additionner un ensemble de nombres, généralement en ayant une certaine variable prise sur un ensemble spécifié de valeurs. La notation est particulièrement utile pour traiter les sommes par rapport aux séquences. Dans le sens de la séquence utilisée dans cette section, comme dans l'exemple simple suivant. La séquence d'étapes unitaires. U (n), est une séquence qui est nulle à tous les points d'échantillonnage inférieurs à zéro et 1 à tous les points d'échantillonnage supérieurs ou égaux à zéro: La séquence d'étapes unitaires peut également être obtenue sous forme d'une somme cumulée de l'impulsion unitaire: Jusqu'à n-1 la somme sera 0, puisque toutes les valeurs de pour n négatif sont 0 à n 0, la somme cumulée saute à 1, puisque la somme cumulée reste à 1 pour toutes les valeurs de n supérieures à. Puisque toutes les autres valeurs de 0 sont de nouveau. Ce n'est pas une utilisation particulièrement impressionnante de la notation, mais il devrait vous aider à comprendre qu'il peut être parfaitement raisonnable de parler de sommes infinies. Notez que nous pouvons aussi exprimer la relation entre u (n) et dans l'autre direction: En général, il est utile de parler de l'application des opérations ordinaires de l'arithmétique aux séquences. On peut donc écrire le produit des séquences x et y comme xy. C'est-à-dire la séquence composée des produits des éléments correspondants (et non le produit intérieur): De même, la somme des séquences x et y peut s'écrire x y. Une séquence x peut être multipliée par un scalaire, ce qui signifie que chaque élément de x est individuellement ainsi multiplié: Enfin, une séquence peut être décalée par tout nombre entier de points d'échantillonnage: Nous avons déjà utilisé cette notation quand nous avons exprimé l'impulsion unitaire Séquence en termes de séquence d'étapes unitaires, comme étant la différence entre un échantillon donné et l'échantillon immédiatement précédent. Toute séquence peut être exprimée sous la forme d'une somme d'échantillons unitaires échelonnés et décalés. Conceptuellement, ceci est trivial: on fait pour chaque échantillon de la séquence originale une nouvelle séquence dont le seul membre non nul est l'échantillon choisi, et nous additionnons toutes ces séquences d'un seul échantillon pour constituer la séquence originale. Chacune de ces séquences à un seul échantillon (en fait, chaque séquence contient infiniment de nombreux échantillons, mais un seul est non nul) peut à son tour être représentée comme une impulsion unitaire (un échantillon de valeur 1 situé au point) Valeur et déplacé à l'endroit approprié. En langage mathématique, c'est là que k est une variable qui sélectionne chacun des échantillons d'origine, utilise sa valeur pour mettre à l'échelle l'impulsion de l'unité, puis décale le résultat à la position de l'échantillon sélectionné. Un système ou une transformation T mappe une séquence d'entrée x (n) sur une séquence de sortie y (n):
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